モチベーション

2つの確率変数 $X_1, X_2$ に対して、これらが同じ分布に従うという帰無仮説を検定したいことがあります。 正規性が成り立たない場合に頑健なノンパラメトリック検定としてはWilcoxon-Mann-Whitney検定が有名ですが、Wilcoxon-Mann-Whitney検定は2つの分布の分散が異なる場合などに頑健でないことが知られています。 Brunner-Munzel検定は正規性が成り立たず、分散が異なる場合にも適用可能な検定の手法です。

Brunner-Munzel検定ではデータの順位を計算する処理がありますが、データがBigQuery上にある場合は順位計算などの重めの処理をBigQuery上で処理してしまうのが良いです。 本記事ではBrunner-Munzel検定をBigQuery+pythonで行う方法を紹介します。

コード

奥村先生のページで使われているデータ例を用います。

2つのデータ列 [1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,1,1] と [3,3,4,3,1,2,3,1,1,5,4] が同じ分布に従うかどうかを Brunner-Munzel検定で確かめます。

実際のデータに適用する場合は dataset_1 や dataset_2 を検定したいものに置き換えてください。

統計量の集計

上記のクエリをBigQueryで回すと、以下の結果が得られる。

dataset_number n avg_whole_rank variance
1 14 9.821428571428573 4.21565934065934
2 11 17.045454545454547 12.922727272727276

t統計量/P値の計算

集計した統計量からt統計量を計算します。pythonのコードは以下です。

$python brunner_munzel.py 14 11 4.21565934065934 12.922727272727276 9.821428571428573 17.045454545454547
# test statistic: 3.1374674823029496 degrees of freedom: 17.682841979481545 p-value: 0.0057862086661

検算

RにはlawstatパッケージにBrunner-Munzel検定を行うことができる関数 brunner.munzel.test() があります。 先程用いたデータ例を入力してみると同じ結果になっていることがわかります。

> library("lawstat")
> x = c(1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,1,1)
> y = c(3,3,4,3,1,2,3,1,1,5,4)
> brunner.munzel.test(x, y)

	Brunner-Munzel Test

data:  x and y
Brunner-Munzel Test Statistic = 3.1375, df = 17.683, p-value = 0.005786
95 percent confidence interval:
 0.5952169 0.9827052
sample estimates:
P(X<Y)+.5*P(X=Y) 
        0.788961

参考文献