定理
確率変数 $X$ が区間 $[a,b]$ で値を取るとする。このとき $X$ は パラメータ $\sigma=\frac{b-a}{2}$ で sub-gaussianになる。
証明
$\psi(\lambda):=\log\mathbb{E}[e^{\lambda X}]$ と置くと。テイラーの定理より $$ \psi(\lambda)　= \psi(0) + \psi^\prime(0)\lambda + \frac{\psi^{\prime\prime}(c)}{2}\lambda^2 $$ が成り立つ。ここで $\psi(0)=0, \psi^\prime(0)=\mathbb{E}[X]$ であるから、 $\sup_{\lambda\in\mathbb{R}}\psi^{\prime\prime}(\lambda)$ を評価すれば良い。 $$ \mathbb{E}_\lambda[f(X)]:=\frac{\mathbb{E}[f(X)e^{\lambda X}]}{\mathbb{E}[e^{\lambda X}]} $$ と定めると、 $$ \psi^{\prime\prime}(\lambda)=\mathbb{E}_\lambda[(X-\mathbb{E}_\lambda[X])^2] $$ と書ける。ここで $\lambda$ を固定して 実数 $t$ の二次関数 $\mathbb{E}_\lambda[(X-t)^2]$ を考える。 この関数は、$t=\mathbb{E}_\lambda[X]$ のときに最小になることがわかる。 したがって、 $$ \mathbb{E}_\lambda[(X-\mathbb{E}_\lambda[X])^2] \leq \mathbb{E}_\lambda\left[\left(X-\frac{b+a}{2}\right)^2\right] \leq \frac{(b-a)^2}{4} $$ これより $\mu=\mathbb{E}[X], \sigma=\frac{b-a}{2}$ と置くと $$ \psi(\lambda) \leq \mu\lambda + \frac{\sigma^2}{2}\lambda^2 $$ が すべての $\lambda\in\mathbb{R}$ で成立するので、$X$ はsub-gaussianとなる。

参考

次の本のExercise 2.4にあった問題。