次元定理は線形代数の講義でほぼ必ず扱われますが，今回はその面白い応用を見つけたのでメモしておきます．

次元定理

線形空間$V$の線形部分空間$S,T$に対して $$ \dim (S\cap T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S+T) $$ が成立する．

証明

$S\cap T$の基底を ${a_1,\ldots,a_k}$ とする．この基底を拡大して$S$の基底 ${a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l}$ , $T$の基底 ${a_1,\ldots,a_k,c_1,\ldots,c_m}$ を作る． ${a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l,c_1,\ldots,c_m}$ が $S+T$ の基底であることを示す． これが $S+T$ を張ることは明らかなので，線形独立性を示せばよい．${a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l,c_1,\ldots,c_m}$ の線形方程式

\[\sum_{i=1}^k \alpha_ia_i+\sum_{i=1}^l \beta_ib_i+\sum_{i=1}^m \gamma_ic_i=0\]

を考える．

\[d=\sum_{i=1}^k \alpha_ia_i+\sum_{i=1}^l \beta_ib_i=-\sum_{i=1}^m \gamma_ic_i\]

とおくと，$d$は$S$の基底の線形結合である．$c_1,\ldots,c_m$は$S$に含まれない元であるので，$d$は$S$に含まれないベクトルたちの線形結合でもある．$d=0$となる．${a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l}$ は $S$ の基底なので $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=\beta_1=\cdots=\beta_l=0$．${c_1,\ldots,c_m}$ は基底の一部であり線形独立なので，$\gamma_1=\cdots=\gamma_m=0$．よって　${a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l,c_1,\ldots,c_m}$ の線形方程式は自明な解のみをもち，これらは線形独立．

次元定理の応用

以下の定理では次元定理が証明で肝心な役割を果たします．証明は順次気が向いたら書きます．

$\mathrm{Ker}$ と $\mathrm{Im}$ の関係

$A$ を $\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^m$への線形写像とする． $$ \dim\mathrm{Ker}(A)+\dim\mathrm{Im}(A)=n $$ が成立する．

証明

次元定理の式で$S=\mathrm{Ker}(A),T=\mathbb{R}^n/\mathrm{Ker}(A)\cup\{0\}$ と置くと，これは $\mathbb{R}^n$ の線型部分空間となっている． $\dim(S\cap T)=0,\dim(S+T)=n$．$\mathbb{R}^n=S+T$より $\dim(\mathrm{Im}(A))=\dim(A\mathbb{R}^n)=\dim(A(S+T))=\dim(AS+AT)=\dim(AT)$($\because$ $S$は零空間)．ここで $A$ の定義域を $T$ に制限した写像 $A^\prime : T \to\mathbb{R}^m$を考えると， $\mathrm{Ker}(A^\prime)={0}$．よって$A^\prime$は単射であり，$\dim(\mathrm{Im}A^\prime)=\mathrm{dim}(T)$．$\mathrm{dim(\mathrm{Im} A)}=\mathrm{dim(\mathrm{Im} A^\prime)}$ であるから示された．

単調定理

$n$ 次エルミート行列 $A,B$に対して， $A$ の固有値を $\alpha_1\leq\alpha_2\leq\ldots\leq\alpha_n$ ，$B$ の固有値を $\beta_1\leq\beta_2\leq\ldots\leq\beta_n$ ， $C:=A+B$ の固有値を $\gamma_1\leq\gamma_2\leq\ldots\leq\gamma_n$とする． $$ \begin{align} &\alpha_i+\beta_1\leq\gamma_i\leq \alpha_i+\gamma_n\,(i=1,2,\ldots,n)\\ &\gamma_i\geq\alpha_j+\beta_{i-j+1}\,(i\geq j)\\ &\gamma_i\leq\alpha_j+\beta_{i-j+n}\,(i\leq j) \end{align} $$

分離定理

$$ A=\begin{bmatrix} B&C\\ C^\ast&D \end{bmatrix} $$ を$A$が$n$次正方行列で固有値　$\alpha_1\leq\alpha_2\leq\ldots\leq\alpha_n$，$B$が$m$次正方行列で固有値　$\beta_1\leq\beta_2\leq\ldots\leq\beta_n$ ，をもつとき $$ \begin{align} \alpha_k\leq\beta_k\leq\alpha_{k+n-m}\,(k=1,2,\ldots,m)\\ \end{align} $$

クーランフィッシャーの定理(ミニマックス原理)

$n$次エルミート行列$A$の固有値を $\alpha_1\leq\ldots\leq\alpha_n$ とする． $$ \begin{align} \alpha_k=\min_{S^k}\max\{\bm{x}^\ast A \bm{x} \mid \bm{x}\in S^k,|\bm{x}|=1\}\\ \alpha_k=\max_{S^k}\min\{\bm{y}^\ast A \bm{y} \mid \bm{y}\in S^k,|\bm{y}|=1\} \end{align} $$ ここで$S^k$は$\mathbb{C}^n$の任意の線形部分空間を表す．

参考