ラプラス変換の性質

ラプラス変換の定義

時間$t\geq 0$で定義された関数$f(t)$に対して

\[\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt\]

$s\in\mathbb{C}$は複素数で，$\mathcal{L}[f(t)]$が収束する範囲$D\subset\mathbb{C}$からとるとする．$D$ を$f$のラプラス変換$\mathcal{L}[f(t)]$の収束領域という．

ラプラス変換の性質

線形性

\[\mathcal{L}[af+bg]=a\mathcal{L}[f]+b\mathcal{L}[g]\]

$t$領域での微分

\[\mathcal{L}[f^\prime]=s\mathcal{L}[f]-f(0)\]

$t$領域での積分

\[\mathcal{L}\left[\int_{0}^tf(\tau)\,d\tau\right]=\frac{1}{s}\mathcal{L}[f]\]

$s$領域での推移

\[\mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=\mathcal{L}[f](s+a)\]

$t$領域での推移

$f(t-a)=0\,(0<t<a)$ のとき

\[\mathcal{L}[f(t-a)]=e^{-sa}\mathcal{L}[f](s)\]

初期値定理

\[\lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}s\mathcal{L}[f](s)\]

最終値定理

\[\lim_{t\to \infty}f(t)=\lim_{s\to 0}s\mathcal{L}[f](s)\]

畳み込み積

\[\mathcal{L}\left[\int_{0}^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\right]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]\]