問題

$X,Y,Z$が互いに独立な$(0,1)$上の一様乱数とする．

問1

$\mathrm{Pr}[X^2>Y]$となる確率を求めよ．

問2

$\mathrm{Pr}[XY<Z]$となる確率を求めよ．

問3

$\mathrm{Pr}[XY<Z^2]$となる確率を求めよ．

解答　

問1

$\mathrm{Pr}[X^2\leq a]=\mathrm{Pr}[X\leq \sqrt{a}]=\sqrt{a}$であるから，

\[\mathrm{Pr}[X^2>Y]=\int_{0}^1\sqrt{y}\,dy=\frac{2}{3}\]

問2

$XY<a$という事象が成り立つ場合を図で考えてみるとfigure1のようになります．figure1では$a$の値を変化させて，領域の変化を描いています． この色の付いた部分の面積が$\Pr[XY<a]$なので

\[\mathrm{Pr}[XY<a]=a+\int_{a}^1\frac{a}{x}\,dx=a(1-\log a)\]

したがって

\[\mathrm{Pr}[XY<Z]=\int_0^1z(1-\log z)\,dz=\frac{3}{4}\]

問3

問1の結果より$Z^2$の確率密度関数は$(\sqrt{z})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{z}}$

\[\mathrm{Pr}[XY<Z^2]=\int_{0}^1\frac{1}{2\sqrt{z}}z(1-\log z)\,dz=\frac{5}{9}\]

それでは問1-問3の結果を数値計算で検証してみましょう．

import numpy as np
N=10**5
X=np.random.rand(N)
Y=np.random.rand(N)
Z=np.random.rand(N)
n_1=len(np.where(X**2-Y<0)[0])
n_2=len(np.where(X*Y-Z<0)[0])
n_3=len(np.where(X*Y-Z*Z<0)[0])
print("Pr[X^2<Y]: %f" % (n_1/N-2/3))
print("Pr[XY<Z]: %f" % (n_2/N-3/4))
print("Pr[XY<Z*Z]: %f" % (n_3/N-5/9))

Pr[X^2<Y]: -0.000257
Pr[XY<Z]: -0.000520
Pr[XY<Z]: -0.000476

確かに正しいようです．一様分布同士の積とかからは単純な分布しか出てこないと思ってましたが，意外と$\log$とか出てくるんですね．勉強になりました．