対称行列・交代行列の性質をまとめておきます．

定義

  • $A=A^\top$が成り立つとき$A$を対称行列という．

  • $A=-A^\top$が成り立つとき$A$を交代行列という．

性質

実対称行列の固有値ベクトルは互いに直交する

証明

$A$の固有値 $\lambda,\lambda^\prime$ に対する固有ベクトルを$\bm{x},\bm{x}^\prime$とする．ただし$\lambda\neq\lambda^\prime$

\[\begin{align} &{\bm{x}^\prime}^\top A\bm{x}=\lambda{\bm{x}^\prime}^\top\bm{x}\\ &{\bm{x}^\prime}^\top A\bm{x}={\bm{x}^\prime}^\top A^\top\bm{x}=\lambda^\prime{\bm{x}^\prime}^\top\bm{x} \end{align}\]

両式の差を取って \((\lambda-\lambda^\prime){\bm{x}^\prime}^\top\bm{x}=0\)

よって$\bm{x}$と$\bm{x}^\prime$は直交する．

実対称行列の固有値はすべて実数

$A$の固有値$\lambda$に対する固有ベクトルを$\bm{x}$とする．$\bm{x}$の複素共役ベクトルを$\bm{x}^\ast$で表すことにする．

\[\begin{align} &{\bm{x}^\ast}^\top A\bm{x}=\lambda{\bm{x}^\ast}^\top\bm{x}\\ &{\bm{x}^\ast}^\top A\bm{x}={\bm{x}^\ast}^\top A^\top\bm{x}=\bar{\lambda}{\bm{x}^\ast}^\top\bm{x} \end{align}\]

両式の差を取って \((\lambda-\bar{\lambda}){\bm{x}^\ast}^\top\bm{x}=0\) したがって$\lambda=\bar{\lambda}$となり$\lambda$は実数．

実交代行列の固有値はすべて純虚数または0

$A$の共役転置行列を$A^\ast$で表す．$A$の固有値$\lambda$に対する固有ベクトルを$\bm{x}$とする．$\bm{x}$の複素共役ベクトルを$\bm{x}^\ast$で表すことにする．

\[\begin{align} &{\bm{x}^\ast}^\top A\bm{x}=\lambda{\bm{x}^\ast}^\top\bm{x}\\ &{\bm{x}^\ast}^\top A\bm{x}=-{\bm{x}^\ast}^\top A^\ast\bm{x} =-\bar{\lambda}{\bm{x}^\ast}^\top\bm{x} \end{align}\]

両式の差を取って \((\lambda+\bar{\lambda}){\bm{x}^\ast}^\top\bm{x}=0\) したがって$\lambda=-\bar{\lambda}$となり$\lambda$は純虚数または$0$．

単位行列+交代行列は正則

$A$の固有値$\lambda$に対応する固有ベクトルは$I+A$の固有値 $\lambda+1$ に対応する固有ベクトルになるので \(\det(I+A)=\prod_{\lambda\in\mathsf{Spec}(A)}(\lambda+1)\) $A$は交代行列なので$\lambda$は純虚数または$0$より$\det(I+A)\neq 0$したがって$I+A$は正則．