実行列の問題

院試で面白いと思ったのでメモ．

問題

$A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}\,,A^\top A=BA=BB^\top$ ならば $A=B^\top$を示せ．

解答

与式より

\[\begin{align} &A^\top(A-B^\top)=O\\ &B(A-B^\top)=O \end{align}\]

両辺の差をとると

\[(A-B^\top)^\top(A-B^\top)=O\]

任意の正方行列$C$に対して $\mathrm{Tr}(C^\top C)=\sum_{i,j}c_{ij}^2$が成り立つので

\[\begin{align} &\mathrm{Tr}((A-B^\top)^\top(A-B^\top))=0\\ &\sum_{i,j}(a_{ij}-b_{ji})^2=0\\ \end{align}\]

$A,B$は実行列なので$a_{ij}=b_{ji}$．これより$A=B^\top$．