Cauchy-Schwarzの不等式
院試を解いてて次の不等式で立ち止まってしまったのでメモ。
\[\left(\int_a^bf(x)\,dx \right)^2\leq(b-a)\int_a^bf(x)^2\,dx\]これはCauchy-Schwarzの不等式から直ちに出てきます。
Cauchy-Schwarzの不等式
\[\left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2\leq\int_a^b[f(x)]^2\,dx\int_a^b [g(x)]^2\,dx\]Cauchy-Schwarzの不等式で$g(x)\equiv 1$とすると
\[\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)^2\leq\int_a^b[f(x)]^2\,dx\int_a^b \,dx=(b-a)\int_a^b[f(x)]^2\,dx\]より上の不等式は成り立ちます。
[証明]
$t$の$2$次方程式
$$
\int_a^b(tf(x)-g(x))^2\,dx=0
$$
を考える。この左辺は非負なので根の数はたかだか1つ。よってこの2次方程式の判別式$D$は$0$以下となる。
$$
\int_a^b(tf(x)-g(x))^2\,dx=t^2\int_a^b[f(x)]^2\,dx-2t\int_a^bf(x)g(x)\,dx+\int_a^b [g(x)]^2\,dx
$$
であるから
$$
\frac{D}{4}=\left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2-\int_a^b[f(x)]^2\,dx\int_a^b [g(x)]^2\,dx\leq 0
$$
よって不等式が成立する。