ジョルダン標準形を用いて示します。 ジョルダンブロック $J(\lambda,k)\in\mathbb{R}^{k\times k}$ とは

\[\begin{align} J(\lambda,k)=\begin{pmatrix} \lambda&1&0&\cdots&0&0\\ 0&\lambda&1&0&\cdots&0\\ &&\ddots&&&\\ 0&0&0&\cdots&\lambda&1\\ 0&0&0&\cdots&0&\lambda \end{pmatrix} \end{align}\]

という形の行列です。 ジョルダンブロックの冪について$n \geq k$のときジョルダンブロックの冪は次の式で表せます。

\[\begin{align} (J(\lambda,k))^n=\begin{pmatrix} \lambda^n&\binom{n}{1}\lambda^{n-1}&\binom{n}{2}\lambda^{n-2}&\cdots&\binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2}&\binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1}\\ 0&\lambda^n&\binom{n}{1}\lambda^{n-1}&\binom{n}{2}\lambda^{n-2}&\cdots&\binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2}\\ &&\ddots&&&\\ 0&0&\cdots&\cdots&\lambda^n&\binom{n}{1}\lambda^{n-1}\\ 0&0&0&\cdots&\cdots&\lambda^n \end{pmatrix} \end{align}\]

証明

帰納法と二項係数に関する関係式

\[\begin{align} \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} \end{align}\]

から示すことができます。 全ての行列はジョルダンブロックの直和で表すことができるので(ジョルダン標準形を持つ)ので正方行列$A$の固有値の実部が全て1未満ならばジョルダンブロックの冪が収束して

\[\textsf{Spec}(A)<1\iff\displaystyle\lim_{n\to\infty}A^n=O\]

が成り立ちます。逆は逆にたどると示せます。